θˆ = h(x 1,X 2,...,X n ) θˆ es un estimador puntual de θ

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1 Iferecia Estadística 95 Capitulo VIII INFERENCIA ETADITICA Es ua rama de de la Estadística que se ocupa de los procedimietos que os permite aalizar y etraer coclusioes de ua població a partir de los datos de ua muestra aleatoria, mediate la teoría de las probabilidades y de las distribucioes muestrales. Comprede: a) Estimació de parámetros: - Estimació putual - Estimació por itervalos b) Prueba de hipótesis. ETIMACION DE PARAMETRO. ) ETIMACION PUNTUAL.- i θ es u parámetro poblacioal (valor descoocido); la estimació putual o estimador de este parámetro, deotado por θˆ, es ua fució de las observacioes correspodietes a ua muestra aleatoria, es decir: Ejemplo θˆ h(x,x,...,x ) θˆ es u estimador putual de θ i θ (media poblacioal).- θˆ h (X,X,...,X ) / (X X... X ) X θˆ es u estimador de θ.- θˆ h (X,X,...,X ) / (X X ) θˆ es u estimador de θ Como se puede otar, u mismo parámetro admite muchos estimadores. El mejor estimador a ser elegido, es aquel que cumple co las siguietes propiedades: Propiedades de u bue estimador.- ) Debe ser isesgado: θˆ es u estimador isesgado de θ, si y sólo si: E (θˆ ) θ ) Debe ser eficiete: i θ y θ so dos estimadores isesgados de θ, etoces θ es más eficiete que θ, si y sólo si: Var(θ ) < Var(θ ) 3) Debe ser cosistete: θˆ es u estimador cosistete de θ, si y sólo si cuado el tamaño de muestra se icremeta, θˆ se aproima a θ. F. de Mediburu / Aputes de clase - uso itero. Grupo G / Martes -4, Miercoles -3 pm

2 Iferecia Estadística 96 4) Debe ser suficiete: θˆ es u estimador suficiete de θ, si y sólo si θˆ cotiee la iformació suficiete para estimar θ. Ejemplo.- De ua població ormal co media y variacia, se etrae ua muestra aleatoria: X,X,...,X. Probar que la media y variacia muestral so estimadores isesgados de y respectivamete. olució: e debe probar que E() y E( ) [ ]... E ( E[ ] E[ ]... E[ ]) E E [ ] ( ) e sabe que : ( ) W ~ ( ) gl χ E[W] - ( ) E E[ ] ) ETIMACION POR INTERVALO.- Cosiste e determiar u cojuto de valores, el cual cotiee el valor verdadero del parámetro θ, co u ivel de cofiaza dado: (-α)00 C ( LIC < θ < LC ) - α LIC: límite iferior de cofiaza LC: límite superior de cofiaza Itervalo de cofiaza (θ) <LIC, LC> Basado e los supuestos de distribució ormal o aproimadamete ormal de la població e estudio y teiedo e cueta las distribucioes muestrales estudiadas e el capítulo aterior, se puede deducir los siguietes itervalos de cofiaza: Itervalo de cofiaza para la media poblacioal () GRAFICO figura 3 CAO : Cuado es coocida ( fig.) e sabe que: F. de Mediburu / Aputes de clase - uso itero. Grupo G / Martes -4, Miercoles -3 pm

3 Iferecia Estadística 97 Z ~N(0,) P(-Z 0 < Z < Z 0 ) -α P z < < α 0 z0 Límite iferior de cofiaza : LIC( ) z 0 Límite superior de cofiaza: LC( ) z 0 EJEMPLO.- i de ua població ormal co media descoocida y variacia igual a 4, se etrae ua muestra de tamaño 5 y se obtiee que el promedio muestral es igual a 8.5.U itervalo del 95% de cofiaza para, será: LIC() (.96)()/5 7.7 LC() 8.5 (.96)()/5 9.8 El itervalo [7.7, 9.8] brida u 95% de cofiaza de coteer el verdadero valor de. CAO : Cuado es descoocida. (fig.) e sabe que: t ~ t( ) gl P(-t 0 < t < t 0 ) -α P t < < α 0 t 0 Límite iferior de cofiaza : LIC( ) t 0 Límite superior de cofiaza: F. de Mediburu / Aputes de clase - uso itero. Grupo G / Martes -4, Miercoles -3 pm

4 Iferecia Estadística 98 LC( ) t 0 EJEMPLO.- i de ua població ormal co media y variacia, ambas descoocidas; se etrae ua muestra de tamaño 5 y se obtiee que el promedio es 7.8 y la variacia muestral 7.6 respectivamete. U itervalo del 95% de cofiaza para, será: LIC() (7.6/5) 6.66 LC() (7.6/5) 8.94 El itervalo [6.66, 8.94] brida u 95% de cofiaza de coteer el verdadero valor de. Itervalo de cofiaza para la variacia ( ). (fig 3) e sabe que: V ( ) P(V < V <V ) -α P V ~ χ ( ) gl ( ) < < α V Límite iferior de cofiaza : LIC( ( ) ) V Límite superior de cofiaza: LC( ( ) ) V EJEMPLO.- i de ua població ormal co variacia descoocida se etrae ua muestra de tamaño 4 y se obtiee ua variacia muestral igual a U itervalo del 90% de cofiaza para, será: LIC( ) (4-)45.8/ LC( ) (4-)45.8/ El itervalo [9.95, 80.47] brida u 90% de cofiaza de coteer el verdadero valor de. Itervalo de cofiaza para la diferecia de medias ( - ). Grafico FIG456 F. de Mediburu / Aputes de clase - uso itero. Grupo G / Martes -4, Miercoles -3 pm

5 Iferecia Estadística 99 CAO Cuado y so coocidas. (fig 4) e sabe que: Z ( ) ( ) ~ N(0,) P(-Z 0 < Z < Z 0 ) -α ( ) ( ) P < α z < 0 z0 Límite iferior de cofiaza : LIC( ) ( ) Límite superior de cofiaza: z z 0 LC( ) ( ) 0 EJEMPLO.- e tiee ua població, Normal(,4) y ua població Normal(,3). e observa muestras de tamaño: 5 y 36 respectivamete, cuyos promedios so 8.7 y 5.8 respectivamete. Hallar u itervalo del 95% de cofiaza para ( - ). olució: LIC LC 4 3 ( ) ( ) ( ) ( ) El itervalo [0.754, 5.046] brida u 95% de cofiaza de coteer el verdadero valor de ( - ) F. de Mediburu / Aputes de clase - uso itero. Grupo G / Martes -4, Miercoles -3 pm

6 Iferecia Estadística 00 CAO : Cuado y so descoocidas, pero. (fig 5) e sabe que: t ( ) ( ) dode: p ~ t( ) gl p ( ) ( ) P(-t 0 < t < t 0 ) -α LIC LC ( ) ( ) t 0 p ( ) ( ) t 0 p EJEMPLO.- e tiee ua població Normal(, ² ) y ua població, Normal(, ² ). e etrae muestras de tamaño 0 y 3 respectivamete y se calcula el promedio y la variacia muestral. promedio muestral : 7.8 y 4. respectivamete variacia muestral : 30.3 y 8.7 respectivamete. p (0 )30.3 (3 ) U itervalo del 95% de cofiaza para ( - ), será: LIC LC ( ) ( ) ( ) ( ) El itervalo [-.4, 8.34] brida u 95% de cofiaza de coteer el verdadero valor de ( - ) Itervalo de cofiaza para la razó de variacias. (fig 6) F. de Mediburu / Aputes de clase - uso itero. Grupo G / Martes -4, Miercoles -3 pm

7 Iferecia Estadística 0 e sabe que: F F(, ) gl ~ P( f < F < f ) -α LIC f LC f EJEMPLO.- e tiee ua població Normal(0, ² ) y ua població, Normal(, ² ). e etrae muestras de tamaño 8 y 7 respectivamete y se calcula la variacia muestral: 46.5 y 3.4 respectivamete. Etoces, u itervalo del 98% de cofiaza para la razó de variacias, població etre població, será: LIC LC El itervalo [0.493,.460] brida u 98% de cofiaza de coteer el verdadero valor de la razó de variacias, població etre la població Capitulo IX PRUEBA DE HIPOTEI HIPOTEI ETADITICA.- Es u supuesto sobre la distribució de ua variable aleatoria, que ecesita ser comprobada para su aceptació o rechazo. HIPOTEI PLANTEADA O NULA (H p o H 0 ).- es la suposició que se hace acerca de que el parámetro pueda tomar determiado valor. HIPOTEI ALTERNANTE (H a o H ).- es el complemeto de la hipótesis plateada, esta hipótesis es aceptada siempre y cuado la hipótesis plateada es rechazada. PRUEBA DE HIPOTEI.- Es u procedimieto estadístico de comprobació de ua hipótesis y se realiza utilizado los valores observados que costituye ua muestra. F. de Mediburu / Aputes de clase - uso itero. Grupo G / Martes -4, Miercoles -3 pm

8 Iferecia Estadística 0 TIPO DE ERRORE.- E el procedimieto de prueba de hipótesis se puede icurrir e dos tipos de errores: - ERROR TIPO I: cuado se rechaza ua hipótesis plateada, siedo ésta realmete cierta - ERROR TIPO II: cuado se acepta ua hipótesis plateada, siedo ésta realmete falsa. HIPOTEI PLANTEADA DECIION VERDADERA FALA ACEPTAR NO HAY ERROR ERROR TIPO II (β) RECHAZAR ERROR TIPO I (α) NO HAY ERROR NIVEL DE IGNIFICACION (α ).- Es la probabilidad de cometer error tipo I; es decir, es la probabilidad de rechazar ua hipótesis plateada verdadera. La probabilidad de cometer error tipo II está represetado por la letra griega β. PAO NECEARIO PARA REALIZAR UNA PRUEBA DE HIPOTEI. FORMULACION DE LA HIPOTEI: H p, H a. ETABLECER EL NIVEL DE IGNIFICACION (α ) 3. DETERMINAR LA PRUEBA ETADITICA ( t, Z, X, F ) Y LA AUNCIONE REPECTIVA E todos los casos las asucioes de la prueba so: a)la població de dode se etrae la muestra, es ormal b)la muesrta es etraida al azar 4.- DETERMINAR LA REGIONE DE ACEPTACION Y RECHAZO DE H p 5.- REALIZAR EL CALCULO DE LA PRUEBA ETADITICA 6.- ETABLECER LA CONCLUIONE DE LA PRUEBA PRUEBA DE HIPOTEI PARA LA MEDIA DE UNA POBLACION.- H p : k H p : k H p : k H a : k H a : > k H a : < k.- Determiar ivel de sigificació, α 3.- Prueba estadística.- puede ser: "Z" ó "t" CAO.- Cuado ² es coocido F. de Mediburu / Aputes de clase - uso itero. Grupo G / Martes -4, Miercoles -3 pm

9 Iferecia Estadística 03 Prueba estadística: Z ~N(0,) CAO.- Cuado ² es descoocido t ~ t( ) gl 4.- Regioes de aceptació: Grafico FIG Cálculo de la prueba: Zcal k, o tcal k 6.- Coclusioes.- i el valor calculado e el paso 5, cae e la zoa de aceptació; etoces se acepta la hipótesis plateada. i el valor calculado e el paso 5, cae e la zoa de rechazo; etoces se rechaza la hipótesis plateada. EJEMPLO.- De ua població Normal (, 6), se etrajo ua muestra de tamaño 3, siedo su promedio muestral de 43.. Es la media poblacioal diferete de 45?. Use α0.05 ) H p : 45 H a : 45 ) α ) Prueba estadística: Z 4) Regioes críticas: Dos colas, ver gráfico aterior ) Zcal ) Coclusió: e rechaza H p F. de Mediburu / Aputes de clase - uso itero. Grupo G / Martes -4, Miercoles -3 pm

10 Iferecia Estadística 04 PRUEBA DE HIPOTEI PARA LA VARIANCIA DE UNA POBLACION H p : k H p : k H p : k H a : k H a : > k H a : < k Prueba estadística ( ) ~ χ ( ) gl χ calculado ( ) k EJEMPLO.- De ua població Normal (, ), se observo ua muestra de tamaño 3, cuya variacia muestral resulto Es la variacia poblacioal al meos 8?. Use α0.05 ) H p : 45 H a : 45 ) α ) Prueba estadística: X 4) Regioes críticas: dos colas, ver gráfico aterior (3 )84.6 5) χ calculado ) Coclusió: e acepta H p PRUEBA DE HIPOTEI PARA LA RAZON DE VARIANCIA DE DO POBLACION H p : ² /² k H p : ² /² k H p : ² /² k H a : ² /² k H a : ² /² > k H a : ² /² < k Grafico FIG 3 Prueba estadística: F. de Mediburu / Aputes de clase - uso itero. Grupo G / Martes -4, Miercoles -3 pm

11 Iferecia Estadística 05 F(, ) gl ~ Fcalculado k EJEMPLO.- e tiee ua població : Normal (, ² ) y ua població : Normal (, ² ). e observa muestras de tamaño 8 y 7, respectivamete. Los promedios y variacia muestral so 46.5 y 7. respectivamete. Eiste homogeeidad de variacias?. Use α0.0 ) H p : H a : ) α 0.0 3) Prueba estadística: F 4) Regioes críticas: dos colas, ver gráfico aterior. 5) F calculado 46.5/ ) Coclusió: e rechaza H p No eiste homogeeidad de variacias. PRUEBA DE HIPOTEI PARA LA DIFERENCIA DE MEDIA ( - ) H p : - k H p : - k H p : - k H a : - k H a : - > k H a : - < k Grafico FIG 7 CAO Cuado ² y ² so coocidos Prueba estadística F. de Mediburu / Aputes de clase - uso itero. Grupo G / Martes -4, Miercoles -3 pm

12 Iferecia Estadística 06 F. de Mediburu / Aputes de clase - uso itero. Grupo G / Martes -4, Miercoles -3 pm ( ) ( ) (0,) ~ N Z CAO Cuado ² y ² so descoocidos a) Eiste homogeeidad de variacias (² ² ) Prueba estadística: ( ) ( ) gl t t p ) ( ~ ( ) p k calculado t _ ) ( ) ( p b) No eiste homogeeidad de variacias (² ² ) Prueba estadística: ( ) ( ) ' ~ t t Regioes críticas Grafico FIG 9 t t(α, -) t t(α, -) t t(α, -) t t(α, -) t t(α, -) t t(α, -)

13 Iferecia Estadística 07 t' _ tabular t' _ calculado t t ( ) k EJEMPLO.- e tiee ua població, Normal (, ² ) y ua població, Normal (, ² ). Los tamaños de muestra : 8 y 7, respectivamete y sus variacias y promedios, respectivamete. variacia muestral : 46.5 y 7. promedio muestral : 5.3 y.6 La media de població, ecede a la media de la població e tres uidades?. Use α 0.05 ) H p : - 3 H a : - 3 ) α ) Prueba estadística : t' (No eiste homogeeidad de variacias) 4) Regioes críticas: dos colas, ver gráfico aterior t '_ tabular (5.3-.6) - 3 (5.3.6) 3 5) t '_ calculado ) Coclusió: e acepta H p F. de Mediburu / Aputes de clase - uso itero. Grupo G / Martes -4, Miercoles -3 pm

14 Iferecia Estadística 08 EJERCICIO E u estudio de la logitud e cetímetros de peces de ua especie coocida como Carpa de igapur (Cyprius carpio); se obtuvo los siguietes datos muestrales: machos : 46, 4, 55, 49, 40, 45, 39 hembras : 45, 44, 4, 4, 40, 48, 47, 46 pez Promedio Variacia Desviació Estadar ) Macho ) Hembra Grafico FIG A a) Hallar e iterpretar u itervalo del 90% de cofiaza para la verdadera logitud media de peces hembras de la especie carpa de sigapur. olució: Como o es coocida. Ver fig. a.9 LIC( ) t cm LC( ) t cm 0 8 Itervalo de cofiaza ( ) [4.9, 46.07] El itervalo [4.9, 46.07] brida u 90% de cofiaza de coteer la verdadera logitud media de peces hembras de la especie carpa de sigapur. b) Hallar e iterpretar u itervalo del 90% de cofiaza para la verdadera variacia de la logitud de peces machos olució: ver fig. b F. de Mediburu / Aputes de clase - uso itero. Grupo G / Martes -4, Miercoles -3 pm

15 Iferecia Estadística 09 LIC ( LIC ( w ( ) ) w (7 ) ( ) ) (7 ) El itervalo [4.84, 4.8] brida u 90% de cofiaza de coteer la verdadera variacia de la logitud de peces machos. Itervalo de cofiaza para la desviació estádar Correspode a la raiz cuadrada de los limites para la variacia: LIC ( ) 3.85 LC ( ) 0.69 El itervalo [3.85, 0.69] brida u 90% de cofiaza de coteer la verdadera desviació estádar de la logitud de peces machos. c) Hallar e iterpretar u itervalo del 95% de cofiaza para la diferecia de logitudes medias de peces machos, meos peces hembras, coociedo que eiste homogeeidad de variacias. Grafico FIG C p 6(3.4) 7( ver fig. c LIC ( ) ( ) LC ( ) ( ) El itervalo [-3.85, 5.87] brida u 95% de cofiaza de coteer la verdadera diferecia (-) F. de Mediburu / Aputes de clase - uso itero. Grupo G / Martes -4, Miercoles -3 pm

16 Iferecia Estadística 0 d) Hallar e iterpretar u itervalo del 90% de cofiaza para la razó de variacias, de peces machos etre peces hembras. Ver fig. d LIC LIC El itervalo [0.955, 5.589] brida u 90% de cofiaza de coteer la verdadera razó de variacias. e) upoga que Ud. compraría u lote de peces machos si su logitud promedio fuese por lo meos 47 cm. E base a la muestra, cuál sería su decisió? Use α 0.05 Grafico FIG E olució: e debe realizar ua prueba de hipótesis ) H p : 47 H a : < 47 ) α ) Prueba estadística: t Asucioes de la prueba: - Població ormal - muestra etraida al azar 4) Regioes críticas, ver fig e ) t calcul; ado F. de Mediburu / Aputes de clase - uso itero. Grupo G / Martes -4, Miercoles -3 pm

17 Iferecia Estadística 6) Coclusió.- e acepta la H p. Las evidecias muestrales idica que la logitud promedio de peces machos es por lo meos 47 cms. Debe comprar el lote. f) e puede cocluir que la desviació estádar poblacioal de peces hembras es diferete de 4 cm.? Use α0.0 ) H p : 4 equivalete a: H p : 6 H a : 4 H a : 6 ) α ) Prueba estadística: X Asucioes de la prueba: - Població ormal - muestra etraida al azar 4) Regioes críticas, ver fig. f (8 )(8.4) 5) χ calculado ) Coclusió.- e acepta H p. Las evidecias muestrales idica que o hay evidecias para cocluir que la desviació estádar de peces hembras es diferete de 4 cm. g) e puede cocluir, que eiste homogeeidad de variacias?. Use α0.0 Grafico FIG C ) H p : ² ² H a : ² ² ) α 0.0 3) Prueba estadística: F. Asucioes de la prueba: - Població ormal - muestras etraidas al azar F. de Mediburu / Aputes de clase - uso itero. Grupo G / Martes -4, Miercoles -3 pm

18 Iferecia Estadística 4) Regioes críticas : fig. g 5) F calculado 3.4/8.4 6) e acepta H p. Las evidecias muestrales idica que eiste homogeeidad de variacias. h) e puede cocluir que la logitud media de peces machos supera a la logitud media de peces hembras e promedio, e más de cetímetros? Use α0.05 ) H p : - H a : - > ) α ) prueba estadística : t.e g) se demostró que eiste homogeeidad de variacias co α0.0 4) Regioes criticas: ver fig. h 6(3.4) 7(8.4) 5) 8. 9 p 3 t calculado ( ) ) e acepta H p. No hay evidecias para idicar que la media de machos supera e más de uidades a la media de hembras. F. de Mediburu / Aputes de clase - uso itero. Grupo G / Martes -4, Miercoles -3 pm